进位计数制:进制讲解

进制也就是进位计数制,是人为定义的带进位的计数方法,对于任何一种进制X进制,就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。 十进制是逢十进一,十六进制是逢十六进一,二进制就是逢二进一,以此类推,x进制就是逢x进位

编程里的进制跟我们生活中的进制不同他有很多种进制比如:二进制(逢二进一)、十进制(逢十进一)、十六进制(逢十六进一)

二进制

我们使用的数字0-9可以代表数值,那么二进制就是0和1代表数值,只要是0和1组成的数值都是有效的二进制数,比如:0、1、10、111、100、10010都是二进制。二进制的基数为2,进位规则是“逢二进一”,借位规则是“借一当二”。

在计算机内部,数据都是以二进制的形式存储的,数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关,用“开”来表示1,“关”来表示0,二进制是学习编程的基础。

二进制加减运算过程

1) 二进制加法:1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110%title插图%num

2) 二进制减法:1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101%title插图%num

八进制

除了二进制,C语言还会使用到八进制。

八进制有 0~7 共8个数字,基数为8,加法运算时逢八进一,减法运算时借一当八。例如,数字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八进制。

八进制加减运算过程

1) 八进制加法:3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216%title插图%num

2) 八进制减法:6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757%title插图%num

十六进制

除了二进制和八进制,十六进制也经常使用,甚至比八进制还要频繁。

十六进制中,用A来表示10,B表示11,C表示12,D表示13,E表示14,F表示15,因此有 0~F 共16个数字,基数为16,加法运算时逢16进1,减法运算时借1当16。例如,数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。

注意,十六进制中的字母不区分大小写,ABCDEF 也可以写作 abcdef。

十六进制加减法的运算过程。

1) 十六进制加法:6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11%title插图%num

2) 十六进制减法:D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF

进制转换:二进制、八进制、十六进制、十进制之间的转换

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。

假设当前数字是 N 进制,那么:

  • 对于整数部分,从右往左看,第 i 位的位权等于Ni-1
  • 对于小数部分,恰好相反,要从左往右看,第 j 位的位权为N-j

更加通俗的理解是,假设一个多位数(由多个数字组成的数)某位上的数字是 1,那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

1) 整数部分

例如,将八进制数字 53627 转换成十进制:

53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423(十进制)从右往左看,第1位的位权为 80=1,第2位的位权为 81=8,第3位的位权为 82=64,第4位的位权为 83=512,第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

注意,这里我们需要以十进制形式来表示位权。

再如,将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制:

9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964(十进制)从右往左看,第1位的位权为 160=1,第2位的位权为 161=16,第3位的位权为 162=256,第4位的位权为 163=4096,第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为 16n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

将二进制数字转换成十进制也是类似的道理:

11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26(十进制)从右往左看,第1位的位权为 20=1,第2位的位权为 21=2,第3位的位权为 22=4,第4位的位权为 23=8,第5位的位权为 24=16 …… 第n位的位权就为 2n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

2) 小数部分

例如,将八进制数字 423.5176 转换成十进制:

423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875(十进制)小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 8-1=1/8,第2位的位权为 8-2=1/64,第3位的位权为 8-3=1/512,第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m

再如,将二进制数字 1010.1101 转换成十进制:

1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十进制)小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 2-1=1/2,第2位的位权为 2-2=1/4,第3位的位权为 2-3=1/8,第4位的位权为 2-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2-m

更多转换成十进制的例子:

  • 二进制:1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(十进制)
  • 二进制:101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×2+ 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625(十进制)
  • 八进制:302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194(十进制)
  • 八进制:302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375(十进制)
  • 十六进制:EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十进制)

第三页 进制转换 (大转小)

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